| 1. | It is also a limit ordinal.
Il s'agit également d'un ordinal limite. |
| 2. | Let α = λ + n, where λ is a limit ordinal and n is a natural number.
Soit α = λ + n, où λ est un ordinal limite, et n est un nombre naturel. |
| 3. | The literature contains a few equivalent definitions of the parity of an ordinal α: Every limit ordinal (including 0) is even.
La littérature contient plusieurs définitions équivalentes de la parité d'un nombre ordinal α: Chaque ordinal limite (y compris 0) est pair. |
| 4. | In set theory, a limit ordinal is an ordinal number that is neither zero nor a successor ordinal.
En mathématiques et plus précisément en théorie des ensembles, un ordinal limite est un nombre ordinal non nul qui n'est pas un ordinal successeur. |
| 5. | Here fαn(n) = fα(fα(...(fα(n))...)) denotes the nth iterate of fα applied to n, and α denotes the nth element of the fundamental sequence assigned to the limit ordinal α.
Ici, fαn(n) = fα(fα(...(fα(n))...)) désigne la nème itérée de fα appliquée à n, et α le nème élément de la suite fondamentale choisie pour l'ordinal limite α. |
| 6. | Given an infinite cardinal κ, or generally any limit ordinal κ, κ is order-isomorphic to both its subset of even ordinals and its subset of odd ordinals.
Si κ est un cardinal infini, ou plus généralement un ordinal limite, alors κ a le même type d'ordre que l'ensemble de ses ordinaux pairs et l'ensemble de ses ordinaux impairs. |
| 7. | Lα+1(A) = Def (Lα(A)) If λ is a limit ordinal, then L λ ( A ) = ⋃ α < λ L α ( A ) {\displaystyle L_{\lambda }(A)=\bigcup _{\alpha <\lambda }L_{\alpha }(A)\!} .
Lα+1(A) = Def (Lα(A)) Si λ est un ordinal limite, alors L λ ( A ) = ⋃ α < λ L α ( A ) |
| 8. | The family {Uσ(A)} of Ulm subgroups indexed by ordinals σ is defined by transfinite induction: U0(A) = A; Uσ+1(A) = U(Uσ(A)); Uτ(A) = ∩σ < τ Uσ(A) if τ is a limit ordinal.
La famille {Uσ(A)} de sous-groupes d'Ulm indexés par des ordinaux σ est définie par récurrence transfinie: U0(A) = A; Uσ+1(A) = U(Uσ(A)); Uτ(A) = ∩σ < τ Uσ(A) si τ est un ordinal limite. |
| 9. | If one has fundamental sequences for α and all smaller limit ordinals, then one can create an explicit constructive bijection between ω and α, (i.e. one not using the axiom of choice).
La donnée d'un système de suites fondamentales pour tous les ordinaux limites inférieurs à un ordinal donné α permet de construire une bijection explicite (n'utilisant en particulier pas l'axiome du choix) entre ω et α. |
| 10. | To do this, the generating functions E α {\displaystyle E_{\alpha }} must be recursively defined for limit ordinals (note they have already been recursively defined for successor ordinals by the relation E α + 1 ( n ) = E α n ( 2 ) {\displaystyle E_{\alpha +1}(n)=E_{\alpha }^{n}(2)} ).
Pour cela, la définition des E α |
